摘要： 以一两轴转向架系统为研究对象，采用沈氏蠕滑理论计算轮轨滚动理想接触点的蠕滑力，而轮缘力则用一分段线性函数来表示。应用延续算法求解转向架系统稳态曲线运行时的定常运动与周期运动，结合Poincaré分岔图分析系统的混沌运动。结果表明转向架系统稳态曲线运行时，系统的平衡位置偏离轨道中心线，并且在一些速度区间还是会出现定常运动、周期运动和混沌运动以及夹杂期间的多周期运动窗口，只是周期运动和混沌运动的幅值可能比较小。关键词： 分岔； 混沌； 转向架； 曲线运动
中图分类号： O322； U260.11文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）02019207
引言
铁道车辆运行于等超高、等半径圆曲线时的工况称为稳态曲线通过，这是车辆通过曲线的基本工况[1，2]。由于轨道存在曲率半径和外轨超高，不对称的蠕滑力以及横向方向未被平衡的离心力，均破坏了系统关于轨道中心线的对称性，因此曲线轨道的车辆系统是一个不对称的车辆系统。已有的研究中，主要是研究直线轨道车辆系统的稳定性和分岔行为[3～6]，在曲线轨道车辆系统的稳定性、分岔以及混沌方面研究并不多。True等研究了真实的轮轨型面下曲线轨道运行的7自由度Cooperrider转向架的横向动力学特征[7]，得到了系统临界速度与曲率半径和外轨超高角之间的一些变化关系，更重要的是，他发现曲线轨道上系统的临界速度比直线轨道要低。Dan Erik Petersen建立了曲线轨道运行的[8]，包含有垂向运动的16自由度的转向架模型，通过研究该模型的动力学行为后发现，如果曲线的曲率半径很小，由于离心力的稳定性作用，速度大范围内系统的平衡位置可能都是稳定的，而不会出现一般所说的蛇行运动。曾京等则系统研究了17自由度的铁道客车系统在直线轨道上的横向运动稳定性[9]，并与考虑车钩力后曲线轨道上的稳定性问题进行了比较，得到了一些对车辆设计与运行很有益的结果。波兰华沙技术大学的K.Zboinski等认为[10]，考虑车辆在曲线轨道上的运动稳定性是必要的。而在此之前人们研究车辆系统运动稳定性问题一般只是针对直线轨道上车辆自激振动的横向运动稳定性，曲线轨道（曲率半径及外轨超高或超高角等）被认为是一种外界激扰源而抑制了自激振动。简言之，曲线轨道的车辆系统可能存在更大的轮轨接触力和更低的失稳临界速度，因此更合理的确定车辆临界速度并充分掌握曲线轨道运行时车辆系统的相关动力学特征也是十分必要的。
基于此，本文对一两轴转向架系统速度大范围内稳态曲线运行的分岔行为和混沌运动进行研究，讨论系统解的稳定性、分岔和混沌以及分岔过程中出现的多种非线性动力学现象，并阐述其中的数学或力学机理。
1动力学模型描述〖2〗11轮轨接触几何关系描述轮轨接触几何参数主要包括左/右轮滚动圆半径r（l，r），左/右轮轮轨接触角δ（l，r）以及轮对侧滚角位移w等，这些参数都可近似认为是轮对横移量yw的函数（当等号左边的下标为l时，右边的±或取上面的符号；当等号左边的下标为r时，±或则取下面的符号，后面类似的情况也作如此约定）。r由于是曲线轨道，轮对的轴线不再像直线轨道上一样与两个钢轨正交，通过调整摇头角可以将这种变化考虑在内，即作代换ψw→ψw+α （3）式中对转向架的前导轮对α=lt/R，对转向架的后从轮对α=-lt/R。在曲率半径确定的稳态曲线轨道上，α是个常量，因此虽然摇头角位移要用上式进行代换，但摇头角速度w并不用进行代换。
将式（3）按照计算轮对的不同代入式（2）中可分别计算出曲线轨道上转向架两个轮对的蠕滑率，再将其代入蠕滑力的计算表达式即可求出蠕滑力。
对轮轨接触面可能存在大蠕滑的情况，采用沈氏蠕滑理论对Kalker线性蠕滑理论进行非线性修正[12]，再将修正的接触斑蠕滑力/力矩通过坐标变换转换到轨道坐标系内，即可用于运动微分方程的建立。
13法向力与轮缘力
14转向架系统运动微分方程
（11）式中V∈R+为系统参数，此处即为车辆运行速度，f为状态向量函数。
2分析方法
将基于切向量进行预测，牛顿迭代法进行校正，可逐步求解整个系统解分支曲线的延续算法应用于转向架系统定常解和周期解的追踪与求解上[16]，并通过数值计算Jacobi矩阵的特征值和Floquet特征乘子来确定定常解分支和周期解分支的稳定性。
进一步的，为了展示系统在超临界速度下出现的非周期运动，通过建立Poincaré截面构造分岔图来说明系统的运动形式。在整个转向架系统的质量和惯量、刚度和阻尼、长度和距离、轮轨计算参数等确定的情况下，若轨道的曲率半径和外轨超高（或超高角）也固定，则系统的平衡位置Py=Py（V）一般情况下只与车辆运行速度有关。本文分析中将Poincaré截面定义为转向架构架横向速度为零，横向位移大于其平衡位置的那个瞬时，可表示为∏={（y，V）∈R14×R+t=0，yt≥Pyt} （12）在数值积分方面，采用四阶五级自适应步长“龙格库塔法”求解一阶常微分方程组，应用误差控制策略确定求解的精度并控制计算的步长。同时，数值积分中初始条件的选取则以前一速度稳态运动的最后值作为下一下速度计算的初始值进行数值模拟，可以较快的得到稳态运动解。
3数值结果与分析
31定常运动与周期运动
图2是应用延续算法求解出的车辆运行速度作为控制参数与转向架前导轮对的横向位移分岔图，其中实线代表稳定的运动，而点线则表示不稳定的运动，从图可以看出：由于是稳态曲线轨道，因此系统的平衡位置不再是轨道中心线，而是离中心线有一定距离的位置，如图中的OAB解分支所示。当速度V
4结论
本文研究的是稳态曲线运行的两轴转向架系统，在速度变化范围内，系统的非线性主要来自轮轨接触表面的蠕滑力和摆动轮对与钢轨侧面之间的轮缘接触力。应用延续算法并结合Poincaré截面法构造分岔图对转向架系统横向运动的分岔行为和混沌运动进行了分析。结果表明稳态曲线轨道运行的转向架系统平衡位置偏离轨道中心线，系统在一定的条件下还是会出现定常运动、周期运动和混沌运动以及夹杂期间的多周期运动窗口等非线性动力学现象，只是周期运动和混沌运动的幅值可能没有同等条件下直线轨道运行时的幅值大。
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