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拓扑学选讲课程教学大纲
一、课程基本信息 课程编号：201411282 课程中文名称：拓扑学选讲 课程英文名称：Topology Selected 课程性质：专业选修课程 开课专业：数学与应用数学 开课学期：7 总学时：
36
（其中理论 36 学时）
总学分：2 二、课程目标 拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，有的甚至已经成为通用语言。拓扑学在物理学、经济学等部门也有许多应用。
拓扑学是研究拓扑空间自身结构及空间图形在连续形变下性质保持不变的学科，该课程是数学与应用数学专业本科生在学习完点集拓扑课程之后，需要进一步掌握的拓扑学课程。通过该课程的学习，使学生掌握代数拓扑的基本理论与方法，为学生后续课程的学习打下良好的基础，并能增强学生的抽象思维、逻辑思维能力和分析问题解决问题的手段和方法。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）
（1）掌握以点集拓扑为主的基础理论。包括拓扑空间，连续映射的基本概念，乘积空间 商空间等重要而常用的概念以及它们的性质。还有对连续性、紧致性及连通性的讨论等以及 基本群、单纯剖分的概念。
（2）掌握代数拓扑的基本理论。包括映射的同伦，基本群的定义，球面的基本群，基本群的同伦不变性，复叠空间及性质，两个提升定理，复叠变换与正则复叠空间，单纯复形，单纯复形的同调群，同调群的性质和意义，计算同调群的实例。
（3）在日常课程学习过程中着重对基本概念，基本理论和基本技能进行拓展，培养学生认
真扎实的学习态度、注重积累的学习习惯，具有自我约束、自我检验、自主学习的能力，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学思维基础。
*说明：由于课程性质，在所涉及领域并不进行深入讨论。
四、教学内容与学时分配 1 拓扑空间与连续性（2 学时）
1.1 拓扑空间 1.2 连续映射与同胚映射 1.3 乘积空间与拓扑基 2 几个重要的拓扑性质（6 学时）
2.1 分离公理与可数公理 2.2 紧致性与连通性 2.3 道路连通性 2.4 拓扑性质与同胚 3 商空间与闭曲面（4 学时）
3.1 几个常见曲面 3.2 商空间与商映射 3.3 拓扑流形与闭曲面 3.4 闭曲面分类定理 4
同伦与基本群（10 学时）
4.1 映射的同伦 4.2 基本群的定义 4.3 S^n 的基本群 4.4 基本群的同伦不变性 4.5 基本群的计算与应用 5 复叠空间（6 学时）
5.1 复叠空间及其基本性质 5.2 两个提升定理
5.3 复叠变换与正则复叠空间 6 单纯同调群（8 学时）
6.1 单纯复合形 6.2 单纯复合形的同调群 6.3 同调群的性质和意义 6.4 计算同调群的实例 五、教学方法及手段（含现代化教学手段及研究性教学方法）
以课堂教学为主，本课程教学方法和教学手段以理论教学（课堂讲授）为主，以黑板板书与现代教育手段相结合的教学方法；并在教学活动中，注重培养学生严谨求实的科学态度，注重数学理论的直观意义和实际意义的应用。
六、实验（或）上机内容 无 七、前续课程、后续课程 前续课程：数学分析，实变函数，高等代数，空间解析几何，拓扑学等 后续课程：代数拓扑 八、参考教材及学习资源 [1] 熊金城.点集拓扑讲义（第四版）.高等教育出版社，2011
[2] 尤承业.基础拓扑学讲义.北京大学出版社，1997。
九、考核方式
平时成绩占总评成绩的 30%, 其中 10%是课堂出勤，研讨成绩,20%是阶段测验、大作业等成绩。
教学基本要求项 项 考核形式 占总成绩的比例 掌握基础概念理论 课堂出勤，研讨 10% 掌握相对章节的重点性质和定理 阶段测验、大作业等 20% 掌握课程的的全部教学要求知识 期末考试 70%
撰写人签字：
院（系）教学院长（主任）签字：
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