大学数学的线性代数知识点1 线性代数作为构成考研数学的三大科目之一，重要性不言而喻。本文为大家总结了线性代数科目的知识点框架，希望可以帮助到大家。考线性代数的学习切入点是线性方程组。 换言之，可下面是小编为大家整理的大学数学线性代数知识点3篇,供大家参考。
大学数学的线性代数知识点1
线性代数作为构成考研数学的三大科目之一，重要性不言而喻。本文为大家总结了线性代数科目的知识点框架，希望可以帮助到大家。考线性代数的学习切入点是线性方程组。
换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：
1、方程组是否有解，即解的存在性问题；
2、方程组如何求解，有多少个；
3、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法
这最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：
1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；
2、交换某两个方程的位置；
3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项，则方程组无解，若未出现d=0一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解；若r 在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。 齐次方程组 常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。 齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。 利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题：解的存在性问题和如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。 对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。 通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等)，这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。 用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。 总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。 行列式 行列式在考研数学试卷中所占分量不是很大，一般主要是以填空选择题为主，这部分是考研数学中必考内容。 它不单单是考查行列式的概念、性质、运算，与行列式结合考查的题目也很多，比如在逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组解的判断、特征值的求解、正定二次型与正定矩阵的判断等问题中都会用到行列式的有关计算。因此，对于行列式的计算方法，我们的小伙伴们一定要熟练掌握。 向量 向量在线性代数中，既是重点又是难点，主要是因为其比较抽象，因此很多小伙伴会对这部分知识点较为陌生，理解上、做题上就会比较模糊。 这一部分主要是要掌握两类题型： （1）关于一个向量能否由一组向量线性表出的问题 （2）关于一组向量的线性相关性的问题 而这两类题型我们一般是与非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求解的。 线性方程组 线性方程组在近些年出现频率较高，几乎每年都有考题，它也是线性代数部分考查的重点内容。所以对于线性方程组这一部分的内容，小伙伴们们一定要重点把握。 其常见题型如下： （1）线性方程组的求解 （2）方程组解向量的判别及解的性质 （3）齐次线性方程组的基础解系 （4）非齐次线性方程组的通解结构 （5）两个方程组的公共解、同解问题 特征值、特征向量 特征值、特征向量也是线性代数的重要内容，在考研数学中一般都是题多分值大，小伙伴们一定要牢牢掌握。 其常见题型如下： （1）数值矩阵的特征值和特征向量的求法 （2）抽象矩阵特征值和特征向量的求法 （3）判定矩阵的相似对角化 （4）由特征值或特征向量反求A （5）有关实对称矩阵的问题 二次型 二次型是与其二次型的矩阵对应的，因此有关二次型的很多问题我们都可以转化为二次型的矩阵问题，所以正确写出二次型的矩阵是这一章节最基础的要求。 其常见题型如下： （1）二次型转化成矩阵形式 （2）化二次型为标准型 （3）二次型正定性的判别与证明 一、方程组深刻理解，熟练应用 方程组可以说是矩阵和向量的一个综合。想要学好方程组，首先理解很重要。在高等数学中，方程组可以有n个。所以就引入了矩阵的概念。因为用矩阵来表示方程组是很方便的。大家要从矩阵的初等变换角度来理解高等数学中求n元方程组的原理。其次，适量练习学会计算能力，对知识点熟练应用。 二、向量把握重点，个个突破 对于向量这个知识点的主要内容。首先是向量的基本概念介绍。针对向量的概念，大家没必要像行列式定义那样记的那么准。所以，大家要做的是理解这个概念，知道向量有方向的。然后是向量相关性的一些基本性质。大家需要做的还是理解。最后是向量和矩阵，行列式的综合。这个是重点。每年的考研必考至少一道围绕向量来设计的大题。所以大家要把行列式和矩阵相关内容学习好。此外，同学们在备考中要预防以下状况，让自己陷入备考的瓶颈中。一是，定义理解不透彻。二是，心态。 三、矩阵与行列式复习重点 矩阵与行列式这个单元中应当掌握： 1.行列式的概念和性质，行列式按行(列)展开定理. 2.用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 3.用克莱姆法则解齐次线性方程组. 4.矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念和性质. 5.矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及它们的运算规律. 6. 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 7.逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件. 8. 伴随矩阵的概念，用伴随矩阵求逆矩阵. 9.分块矩阵及其运算. 四、线性代数常考提醒梳理 1. 计算低阶和 阶数字型行列式。 2. 计算抽象型矩阵的行列式。 3. 克拉默法则的应用。 4. 代数余子式和余子式的概念，以及两者之间的联系。 5. 证明或判断矩阵的可逆性。 6. 求矩阵的逆矩阵。 7. 求解与伴随矩阵相关的问题。 8. 计算矩阵的 次幂。 9. 求矩阵的秩。 10. 求解矩阵方程。 11. 初等变换与初等矩阵的关系及其应用 12. 分块矩阵的简单应用。 13. 判断向量组的线性相关性与线性无关性。 14. 判断一向量是否可以由另外一向量组线性表示。 15. 两向量组等价的判别方法及常用证法。 16. 向量组的秩与极大线性无关组。 17. 向量空间，过渡矩阵，向量在某组基下的坐标(数一)。 18. 判定线性方程组解的情况。 19. 由方程组的解反求方程组或其参数。 20. 基础解系的概念。 21. 基础解系和特解的求法。 22. 求解含参数的线性方程组。 23. 求抽象线性方程组的通解。 24. 求两线性方程组的非零公共解，证明两齐次线性方程组有非零公共解。 25. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构之间的关系。 26. 求两线性方程组的同解。 27. 求矩阵的特征值与特征向量。 28. 由矩阵的特征值或特征向量反求其矩阵。 29. 求相关联矩阵的特征值与特征向量。 30. 判别两同阶矩阵是否相似，判别某方阵是否可以相似对角化。 31. 相似矩阵性质的应用。 32. 矩阵可对角化的应用。 33. 化二次型为标准形。 34. 判别或证明二次型(实对称矩阵)的正定性。 35. 合同矩阵的概念与性质。 36. 判别两实对称矩阵合同。 37. 讨论矩阵等价、相似和合同的关系。 线性代数作为构成考研数学的三大科目之一，重要性不言而喻。本文为大家总结了线性代数科目的知识点框架，希望可以帮助到大家。考线性代数的学习切入点是线性方程组。 换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。 线性方程组 线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。 关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论： 1、方程组是否有解，即解的存在性问题； 2、方程组如何求解，有多少个； 3、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。 高斯消元法 这最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换： 1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去； 2、交换某两个方程的位置； 3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。 任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。 由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。 对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。 可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。 系数矩阵和增广矩阵 高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。 阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。 对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项，则方程组无解，若未出现d=0一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的"非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解；若r 在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。 齐次方程组 常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。 齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。 利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题：解的存在性问题和如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。 对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。 通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等)，这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。 用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。 总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。 行列式 行列式在考研数学试卷中所占分量不是很大，一般主要是以填空选择题为主，这部分是考研数学中必考内容。 它不单单是考查行列式的概念、性质、运算，与行列式结合考查的题目也很多，比如在逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组解的判断、特征值的求解、正定二次型与正定矩阵的判断等问题中都会用到行列式的有关计算。因此，对于行列式的计算方法，我们的小伙伴们一定要熟练掌握。 向量 向量在线性代数中，既是重点又是难点，主要是因为其比较抽象，因此很多小伙伴会对这部分知识点较为陌生，理解上、做题上就会比较模糊。 这一部分主要是要掌握两类题型： （1）关于一个向量能否由一组向量线性表出的问题 （2）关于一组向量的线性相关性的问题 而这两类题型我们一般是与非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求解的。 线性方程组 线性方程组在近些年出现频率较高，几乎每年都有考题，它也是线性代数部分考查的重点内容。所以对于线性方程组这一部分的内容，小伙伴们们一定要重点把握。 其常见题型如下： （1）线性方程组的求解 （2）方程组解向量的判别及解的性质 （3）齐次线性方程组的基础解系 （4）非齐次线性方程组的通解结构 （5）两个方程组的公共解、同解问题 特征值、特征向量 特征值、特征向量也是线性代数的重要内容，在考研数学中一般都是题多分值大，小伙伴们一定要牢牢掌握。 其常见题型如下： （1）数值矩阵的特征值和特征向量的求法 （2）抽象矩阵特征值和特征向量的求法 （3）判定矩阵的相似对角化 （4）由特征值或特征向量反求A （5）有关实对称矩阵的问题 二次型 二次型是与其二次型的矩阵对应的，因此有关二次型的很多问题我们都可以转化为二次型的矩阵问题，所以正确写出二次型的矩阵是这一章节最基础的要求。 其常见题型如下： （1）二次型转化成矩阵形式 （2）化二次型为标准型 （3）二次型正定性的判别与证明 推荐访问:线性代数
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