【摘 要】实变函数是数学与应用数学专业的一门核心课程，掌握好本课程对于后续相关课程的学习至关重要。本文从注意引导、重视基础概念及加强对比三个方面介绍了如何有效地开展实变函数课程教学。
【关键词】实变函数;Riemann积分;Lebesgue积分
中图分类号： O172.2 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）33-0136-002
DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.33.067
Some Thoughts on the Teaching of Real Variable Function
HAN Ming-hua1 SHANG Hai-tao2
（1.College of science， kaili university， Kaili Guizhou 556000， China;
2.School of science and technology， east China jiaotong university， Nanchang Jiangxi 330100， China）
【Abstract】Functions of Real Variable is a core course for mathematics and applied mathematics major. It is very important to master this course for the following related courses. This paper introduces how to teach function of real variable effectively from three aspects： paying attention to guidance， paying attention to foundational concept and strengthening contrast.
【Key words】Fuction of real variable; Riemann integral; Lebesgue integral
0 引言
《实变函数》是数学与应用数学专业的一门重要的专业核心课程，该课程是在学生学习了一些基础的分析课程后进行开设。在学习的过程中，由于教学内容的高度抽象化，概念过于隐晦难懂，教学课时量有限，学生普遍感觉该门课程比较困难，难以理解课程内蕴的本质和思想，不能较好地运用其中的方法，学完一段时间以后就容易遗忘，大家经常戏称实变函数要学十遍才能掌握精髓。本文结合作者多年来的教学实践经验，就如何有效开展《实变函数》课程教学提出一些见解。
1 注意引导，激发学生学习积极性和主动性
部分学生刚刚接触《实变函数》课程，会对该课程产生一定的误解和偏见，从而影响学习积极性和主动性。学生的第一感觉是该课程复杂难懂，第二感觉是该课程并不实用。由于大部分数学类师范专业学生毕业后从事中小学数学教育工作，他们片面认为该门课程内容与中小学数学教学工作并不相关，无法在日后的教学中发挥作用。另外一部分同学有继续深造的愿望，但是考研的科目通常也不包含实变函数课程，因此，他们或多或少地认为实变函数课程的实用性不大，仅仅为了应付期末考试通过而消极被动学习，在学习过程中遇见困难就会产生抵触情绪，并不能发挥主观能动性去解决困难。为了消除学生的偏见和误解，教师在课程教学内容正式开始前，有必要介绍这门课程的来龙去脉，思想方法及在整个数学专业中的地位。它是数学分析的延续和扩展，它的思想和方法贯穿在泛函分析、微分方程及概率论与数理统计等后续课程的学习中，也是传统的代数、几何进入现代数学前沿的必要桥梁之一。同时通过该课程的学习，可以培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力及分析解决问题的能力，这些能力的提高将对学生终身受益。通过理清实变函数课程的作用地位，有助于学生深刻认识到课程的重要性及实用性，通过积极引导，提高学生学习的自信心和积极主动性，这些对于学生学好实变函数是必不可少的。
2 重视基础，理解概念、定理的内涵
《实变函数》课程包含大量抽象难懂的概念、定义、定理，许多教材为了简洁需要，基本都是直接给出概念的定义，然后在此基础上给出定理并给予证明。学生在学习的过程中，难以把握概念的实质，不知概念产生的前因后果，也不清楚概念在课程中的作用和地位。因此在教学过程中，可以介绍该概念的作用，引导学生思考为什么要这样来定义，用这种方式定义的作用和好处是什么，它能够解决哪些问题，而不是仅仅简单地告诉学生前人就是这样定义的。经过这样教学处理能够起到一些较好的效果，第一、降低了教学难度，将看上去冰冷的概念注入了背景，学生也明白了并不是无缘无故这样去定义的，它是有现实背景的，这样能够让抽象的数学生动化，从而激发学生学习的兴趣;第二、可以引导学生自主思考，让学生遵循前人的思想脉络去思考问题，经过多次这样的练习，能够培养学生研究问题的能力。
例如，在讲授完备集合的概念时，书上一般就是直接给出，若E=E"，则E就被称为完备集合。从该定义出发，我们并不知道究竟什么样的集合才是完备集合，为什么要这样定义完备集合，許多学生也是直接记住该定义，经过一段时间后就很容易跟其他的概念产生混淆。在具体教学时，先给出一个不是完备集合的例子，讨论这种情况对所研究问题造成的影响，引导学生思考如何弥补这样的缺陷，从而一步步引出完备集的准确定义，这样学生就会对该概念有个比较清晰的认识。再给学生列举一些常见的完备集合和非完备集合，使得学生对于完备集合有个更加直观的了解。最后再以著名的Cantor三分集为例，打破他们对于该概念浅显简单的认识，直击完备集合的本质。经过这样的过程，学生对于该概念有个较好的认识，充分理解完备集合的作用，真正掌握该概念的本质。有的同学甚至还会进一步探究，当一个集合不是完备集的时候该如何处理，其实这就是完备化的范围，这样就能激发引导学生自主学习。
3 加强对比，实现从Riemann积分到Lebesgue积分的迁移学习
实变函数课程的一个重要内容是讨论一类新的积分的性质和运用。随着微积分的发展，人们越来越感觉到Riemann积分的一些缺陷，例如，一些看上去性质非常简单的函数并不可积，要想逐项积分，或者交换两个无穷积分的顺序，通常需要附加很强的条件，但在日常所遇见的问题中，这些苛刻的条件可能无法满足，这样就限制了Riemann积分的使用，因此有了发展新的积分的动力，而Lebesgue积分就是在这样的背景下应运而生。
在给出Lebesgue积分的定义时，许多教材采用了和Riemann积分确界式定义类似的定义方式，从此定义出发得到了大量与Riemann积分相同的性质。学生们通过学习前期的《数学分析》课程，已经对Riemann积分的性质有了比较好的掌握，这两种积分性质的共同点有利于学生掌握新的Lebesgue积分的性质，并且让学生在心理上容易接受新的事物。两种积分既有联系也有区别，除了对比它们之间的共同之处，更为重要的是要对比两者之间的不同之处。有的性质从形式上来看是一致的，但内涵的思想和本质可能有大的区别，而有的性质是Lebesgue积分所独有的，要给学生仔细分析这些独特性质产生的根源，这些性质对于Lebesgue积分的运用起到了哪些作用。正是通过这些对比，帮助学生掌握两者之间的异同，真正理解Lebesgue积分的思想，知道Lebesgue积分如何发挥其独有的作用。
例如，为了介绍Lebesgue积分是Riemann积分的推广，通常列举一些不Riemann可积但是Lebesgue可积的函数，这就从一个方面说明了Lebesgue积分的适用范围要更加广泛，能够处理一些Riemann积分无法处理的问题。教材一般都是给出定义在[0，1]上的Dirichlet函数，该函数是Lebesgue可积但并不Riemann可积的典型例子。通过仔细分析该函数，让学生明白函数f（x）在区间[a，b]上Riemann可积的本质就是其在[a，b]上的不连续点构成的集合是一个零测度集，从而掌握两种积分之间的本質区别。进一步鼓励学生思考还有什么常见的函数符合这样的情形，或者让学生自己尝试构造符合该条件的函数，在此过程中逐渐培养学生自主思考问题、研究问题和解决问题的思维和能力。
4 总结
针对实变函数课程的特点，利用先进的教学理念，不断摸索探究符合实际的教学方法，努力提高学生的数学专业水平和使用数学解决问题的能力，培养合格的数学专业人才是个值得永远思考的课题。
【参考文献】
[1]江泽坚，吴智泉，纪友清.实变函数论.第3版[M].北京：高等教育出版社，2007.
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